一、成果名称：若干微分方程的自适应网格算法及应用研究

（自治区科技成果登记号：2023F011J003823）

二、拟提名者：广西壮族自治区教育厅

三、成果简介

（限1页。应包含成果主要研究背景、内容、科学发现点、科学价值、同行引用及评价等。）

微分方程及积分微分模型是描述对流扩散、反应扩散、时滞与记忆效应、反常输运及金融定价等过程的重要数学工具。当方程含小参数、边界层、非局部积分项、分数阶导数或非光滑初值时，经典均匀网格离散容易出现稳定性降低、误差放大和收敛阶退化。本成果围绕“复杂结构微分方程如何建立可计算的误差控制、参数鲁棒的网格生成机制和高精度数值逼近”这一基础科学问题，系统研究最大模先验/后验误差估计、自适应网格与层适应网格、参数一致收敛以及高阶差分方法，形成以下三方面主要科学发现：

（1）建立耦合微分方程系统的最大模后验误差理论与参数鲁棒自适应网格方法。

针对弱耦合与强耦合对流扩散系统，在非均匀网格上构造稳定离散格式，建立最大模后验误差估计，并将可计算误差界转化为监控函数和网格等分布准则。对弱耦合系统利用离散Green函数理论证明了与摄动参数无关的一阶收敛性；对强耦合系统进一步形成“后验误差估计—监控函数—弧长等分布—自适应网格”的完整计算框架。该系列结果为不依赖层位置和层宽先验信息的鲁棒数值计算提供了理论基础。（代表作1-1、1-2）

（2）发展非线性、时滞和非局部微分方程的鲁棒自适应误差分析，并推进数值精度提升。

针对带积分边界条件的非线性微分方程，建立参数一致一阶收敛与后验误差界，并由离散解自动生成自适应网格；针对含时滞Volterra积分微分方程，同时建立最大模先验与后验误差分析，证明存在参数鲁棒的最优一阶网格，并据此构造监控函数，同时揭示标准弧长监控函数在具有转向点的时滞问题中的适用局限；针对非稳态Burger-Huxley方程，将时间离散、非线性迭代和空间自适应网格结合，获得时间、空间方向对小参数一致的收敛结果。（代表作1-3、1-4、1-6）

（3）建立高精度参数一致方法，并将后验误差和非均匀网格思想拓展到分数阶及金融偏微分方程。

针对奇异摄动Volterra积分微分方程，采用变步长BDF2离散微分项、复合梯形公式离散积分项，在Shishkin型网格上建立稳定性与离散最大模误差分析，获得关于摄动参数近二阶一致收敛的高精度格式；针对Riemann–Liouville分数阶两点边值问题，通过等价Volterra积分方程建立稳定性和最大模后验误差估计，并构造解自适应算法；针对广义Black–Scholes方程，在分片均匀网格上构造中心差分与隐式时间离散方法，证明其对任意波动率和利率稳定并具有空间二阶收敛性，有效处理非光滑支付函数引起的奇性。（代表作1-5、1-7、1-8）

科学价值与同行评价：上述成果形成了“最大模误差分析—后验误差估计—自适应/非均匀网格—参数一致收敛—高精度离散”的连续研究链条，将相关理论由耦合微分方程系统拓展到非线性、时滞、积分微分、分数阶边值及金融偏微分方程。按当前材料所列Web of Science检索数据，8篇代表作他引合计355次，表明相关方法已得到国内外同行持续引用和应用。

四、代表性论文（专著）目录（不超过8篇）

五、候选人姓名

刘利斌，岑仲迪，隆广庆，包小兵

六、候选单位名称

南宁师范大学，浙江万里学院，池州学院

七、候选个人合作情况

（候选个人不在同一工作单位的，应填写该说明。候选个人均为同一单位则不用填写该说明。）

刘利斌与岑仲迪围绕分数阶边值问题、非线性积分边界问题及后验误差估计等方面开展合作；刘利斌与包小兵围绕非稳态非线性Burger-Huxley方程的鲁棒自适应离散开展合作。上述合作围绕微分方程误差分析、自适应网格和参数鲁棒数值方法的统一科学主线展开。

八、公示期：2026年9月21日~2026年9月27日     联系人：李老师、庄老师 电话：0566-2748982